\chapter{一些有趣的例题}


\begin{example}[(2024高考数学卷2解析几何)]
	已知双曲线 \(C: x^2 - y^2 = 9\)，常数 \(k\) 满足 \(0 < k < 1\)。设点 \(P_1(5,4)\) 在曲线上，并且按照如下方式构成点列 \(P_n (n = 2, 3, \cdots)\)：过 \(P_{n-1}\) 做斜率为 \(k\) 的直线交双曲线左支于 \(Q_n\) 点，令 \(P_n\) 为 \(Q_n\) 关于 \(y\) 轴的对称点。记 \(P_n\) 坐标为 \((x_n, y_n)\)。设 \(S_n\) 为 \(\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}\) 的面积。证明：\(S_n\) 为常数列。
\end{example}

\begin{solution}
	利用一些基础的解析几何知识，我们很容易得到如下 \(P_n\) 坐标的递推：
	
	\[
	\begin{pmatrix}
		x_{n+1} \\
		y_{n+1}
	\end{pmatrix}
	= \frac{1}{1 - k^2}
	\begin{pmatrix}
		2k y_n - (k^2 + 1) x_n \\
		2k x_n - (k^2 + 1) y_n
	\end{pmatrix}
	= \begin{pmatrix}
		\frac{-k^2 + 1}{1 - k^2} & \frac{2k}{1 - k^2} \\
		\frac{2k}{1 - k^2} & \frac{k^2 + 1}{1 - k^2}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		x_n \\
		y_n
	\end{pmatrix}.
	\]
	
	为方便计算面积，考虑 \(x_n = (1, x_n, y_n)^\top\) 得：
	
	\[
	x_{n+1} = 
	\begin{pmatrix}
		1 \\
		x_{n+1} \\
		y_{n+1}
	\end{pmatrix}
	= 
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & 0 \\
		0 & \frac{k^2 + 1}{1 - k^2} & \frac{2k}{1 - k^2} \\
		0 & \frac{2k}{1 - k^2} & \frac{k^2 + 1}{1 - k^2}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		1 \\
		x_n \\
		y_n
	\end{pmatrix}
	= A x_n.
	\]
	
	利用解析几何知识，此时 \(\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}\) 的面积表达式 \(S_n\) 为
	
	\[
	S_n = \frac{1}{2} \det (\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{x}_{n+2}).
	\]
	
	下面我们计算矩阵 $A$ 的行列式:
	$$
	\det A = \begin{vmatrix}
		\frac{k^2 + 1}{1 - k^2} & \frac{2k}{1-k^2} \\
		\frac{2k}{1-k^2} & \frac{k^2 + 1}{1-k^2}
	\end{vmatrix} = \left( -\frac{k^2 + 1}{1 - k^2} \right)^2 - \left( \frac{2k}{1-k^2} \right)^2 = \frac{(k+1)^2(k-1)^2}{(1-k^2)^2} = 1. 
	$$
	
	接下来证明递推关系:
	
	要证明 $S_n$ 为常数列, 只需证明 $S_{n+1} - S_n = 0$. 直接计算得:
	$$
	\begin{aligned}
		2(S_{n+1} - S_n) &= \det (\boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{x}_{n+2}, \boldsymbol{x}_{n+3}) - \det (\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{x}_{n+2})\\
		&= \det (\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{n+2}) - \det (\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{x}_{n+2})\\
		&= \det A \cdot \det (\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{x}_{n+2}) - \det (\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{x}_{n+1}, \boldsymbol{x}_{n+2}) \\
		&= 0.
	\end{aligned}
	$$
	这样我们就完成了证明. 
\end{solution}






\begin{example}
	设3维线性空间$V$的两组基为$x_1,x_2,x_3$与$y_1,y_2,y_3$, 且由基$x_1,x_2,x_3$到基$y_1,y_2,y_3$的过渡矩阵为
	$$C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix},$$
	 线性变换$T$满足$T(x_1+2x_2+3x_3)=y_1+y_2$, $T(2x_1+x_2+2x_3)=y_2+y_3$, $T(x_1+3x_2+4x_3)=y_1+y_3$, 则$T(y_1)$在基$x_1,x_2,x_3$下的坐标为($\begin{bmatrix}
		3\\
		5\\
		9
	\end{bmatrix}$  ). 
	\end{example}
	\begin{solution}
		由过渡矩阵的定义可知 
		\[
			(y_1,y_2,y_3) = (x_1,x_2,x_3)C,
		\]
	
	
		设$T$在基$x_1,x_2,x_3$下的表示矩阵为$A$,在基$y_1,y_2,y_3$下的表示矩阵为$B$,根据表示矩阵的定义有 
		\begin{align*}
			&(T(x_1),T(x_2),T(x_3)) = (x_1,x_2,x_3)A\\
			&(T(y_1),T(y_2),T(y_3)) = (y_1,y_2,y_3)B
		\end{align*}
	
		设$(T(x_1),T(x_2),T(x_3)) = (y_1,y_2,y_3)M = (x_1,x_2,x_3)CM$,设$M$为如下的3阶矩阵
		\[
			M = \begin{bmatrix}
				a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
				a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
				a_{31}&a_{32}&a_{33}
			\end{bmatrix}
		\]
		由于像的坐标向量等于"表示矩阵"乘以原像的坐标向量(这里的表示矩阵实际上是$M$).根据题意可以得到如下的矩阵方程组 
		\[
			\begin{cases}
				&\begin{bmatrix}
				1\\
				1\\
				0
			\end{bmatrix} = M\begin{bmatrix}
				1\\
				2\\
				3
			\end{bmatrix}\\
			&\begin{bmatrix}
				0\\
				1\\
				1
			\end{bmatrix} = M\begin{bmatrix}
				2\\
				1\\
				2
			\end{bmatrix}\\
			&\begin{bmatrix}
				1\\
				0\\
				1
			\end{bmatrix} = M\begin{bmatrix}
				1\\
				3\\
				4
			\end{bmatrix}\\
			\end{cases}
		\]
		即有如下的形式
		\[
			M\begin{bmatrix}
				1&2&1\\
				2&1&3\\
				3&2&4
			\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
				1&0&1\\
				1&1&0\\
				0&1&1
			\end{bmatrix}
		\]
		解得
		\[
			M= \begin{bmatrix}
				-1&-2&2\\
				-1&-5&4\\
				2&5&-4
			\end{bmatrix}
		\]
	
		于是可以得到
		\[
			A = CM ,
		\]
	
		由于线性变换$T$在两组基下的表示矩阵与过渡矩阵之间满足如下的关系
		\[
			B = C^{-1}AC ,
		\]
		可以得到
		\[
			B= MC = \begin{bmatrix}
				-3&2&1\\
				-5&5&3\\
				6&-5&-2
			\end{bmatrix},
		\]
	
	
	
		同样可以设
		\[
			(T(y_1),T(y_2),T(y_3)) = (x_1,x_2,x_3)N = (y_1,y_2,y_3)C^{-1}N,
		\]
		于是
		\[
			N = CB = \begin{bmatrix}
				3&-3&1\\
				5&-5&-3\\
				9&-7&-3
			\end{bmatrix},
		\]
		从而$T(y_1)$在$x_1,x_2,x_3$下的坐标向量为
		\[
			N\begin{bmatrix}
				1\\
				0\\
				0
			\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
				3\\
				5\\
				9
			\end{bmatrix}.
		\]
	\end{solution}
























